如果没有微分几何中的 Riemannian geometry（黎曼几何）会发生什么？
如果没有微分几何中的 Riemannian geometry（黎曼几何），近代物理学大厦将轰然倒塌，量子力学还要在黑暗中艰难摸索，······
Georg Friedrich Bernhard Riemann（格奥尔格·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼1826年9月17日—1866年7月20日）德国数学家，黎曼几何创始人，复分析创始人之一。在实分析领域，他最著名的贡献是第一个严格的积分公式：黎曼积分以及他关于傅立叶级数的工作。他在1859年发表的关于素数计数函数的著名论文包含了黎曼猜想的原始陈述，其被认为是解析数论中最具影响力的论文之一。通过对微分几何的开拓性贡献，黎曼奠定了广义相对论数学的基础他出生于汉诺威王国（今德国下萨克森）的小镇布雷瑟伦茨。他的父亲弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼是当地的路德会牧师，曾参加拿破仑战争。他在六个孩子中排行第二。黎曼从小就表现出非凡的数学技能，例如计算能力，但害怕在公共场合演讲。
1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。1842年祖母去世后，他搬到吕讷堡的约翰内乌姆学校（Johanneum）。1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入哥廷根大学神学院学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改学数学。
1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅可比、狄利克雷和雅各布·施泰纳门下。两年后他回到哥廷根大学任教。
1851年黎曼获博士学位。
1854年他做了第一次演讲，《论作为几何基础的假设》，正式开创了黎曼几何，并为后续爱因斯坦提出的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为哥廷根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后作为狄利克雷的继承人任正教授。他也是第一个建议用高于三维或四维描述物理现实的人。
1862年他与埃莉泽·科赫（Elise Koch）结婚，由于患肺病，开始了疗养生活。
1866年，汉诺威王国和普鲁士王国的军队在哥廷根发生冲突，黎曼逃离了那里。他在第三次去意大利王国的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世，他被埋葬在此地的公墓。
微分几何中的 Riemannian geometry（黎曼几何）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。
19世纪，波恩哈德·黎曼把这个概念加以推广。
任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分都是广义相对论的四维研究对象。
先从直线说起。
直线/线段这个概念，源于我们的经验，经验告诉我们，直线是两点之间得最短线。
数学课上，学生举手问老师：为什么两点之间直线距离最短？
老师大怒：你扔一块骨头在地上，狗就沿直线跑过来。狗都明白的道理，你还不明白！
现代数学家和物理学家们绞尽脑汁想解决这个狗都知道的问题。
这个结论有三个很靠不住的假设
1。最短。长短，怎么衡量？经验告诉我们用尺子量，但在曲面上没法用尺子。
2。线的长短是一个几何问题吗？
以洛仑兹变换和狭义相对论来看，线的长短是相对的，和速度有关，不是单纯的几何问题。
3。线的弯直是一个几何问题吗？
按照人类经验，光线走两点之间最短路线，两点之间最短路线是直线，所以光线就是直线。
但是，实验证明，光线在引力场会弯曲，所以，直线的概念并不纯粹是几何问题，还和物质的性质有关。
所以对看上去天经地义的经验追根究底，可能会发现经验未必牢靠。
黎曼几何的核心是张量。
从代数角度讲， 它是向量的推广。 向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。 张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似，定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。
从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。
标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作1阶张量。张量中有许多特殊的形式， 比如对称张量、反对称张量等等。
有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（参见协变规律，反变规律），如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中，高斯、黎曼等人在19世纪就导入了张量的概念，爱因斯坦在广义相对论中广泛地利用了张量。
黎曼几何作为非欧几何的一种, 它与罗巴切夫斯基几何相比, 有着实质性的不同。罗氏几何主要工作是建立了一整套区别于欧几里得的《几何原本》的逻辑体系; 而黎曼几何的核心问题是以微分几何为基础, 建立曲线坐标系中的微分方法。罗氏几何是第一个被提出的非欧几何学, 它的基本观点是: 第一, 第五公设不能被证明; 第二, 可以在新的公理体系中展开的一连串推理, 得到一系列在逻辑上无矛盾的新的定理, 形成新的理论。罗氏几何学的公理系统区别于欧式几何学之处, 仅仅是把欧式几何平行公理改为: 从直线外一点, 至少可以做两条直线和这条直线平行。黎曼几何与罗氏几何的平行公理相反: 过直线外一点, 不能做直线和已知直线平行。也就是说, 黎曼几何规定: 在同一平面内任何两条直线都有公共点, 黎曼几何学不承认存在平行线。很自然就有另一条公设: 直线可以无限延长, 但长度是有限的, 这可以类比为一个球面。黎曼几何是通过微分几何的途径建立起来的,因此与罗氏几何根本不同。黎曼几何学的公理体系引进了一种弯曲的几何空间(它可以通过拉梅引进的曲线坐标系描述) , 黎曼在构想这种几何学的时候, 就想设法建立起相应的代数结构。这个目标黎曼本人没有实现, 但沿着他开辟的道路, 克里斯托夫和里奇完成了新几何学的构建。换句话说, 张量分析构成了黎曼几何学的核心内容。这表现在若干方面: 1. 黎曼空间中的曲率是一个张量, 其有关运算需采用绝对微分法; 2. 黎曼空间的度量以度量张量表达; 3. 黎曼空间的平行定义为标积保持不变(即平行被定义为与曲线的夹角保持不变), 依赖克里斯托夫符号; 4. 黎曼空间的直线(短程线)方程的建立依赖协变微分。正因为有了张量分析这个工具, 黎曼几何才获得了类似于微积分一样的计算功能, 从而摆脱了停留在逻辑构造层面上的束缚, 从根本上与微分几何实现了传承, 并实现了微分几何从直线坐标系到曲线坐标系的进步, 使得几何学与代数学更紧密地联系起来。
要而言之, 张量分析的产生一方面是向量分析的推广, 另一方面是微分几何的发展推动。张量分析与黎曼几何在相互交织中发展, 互相促进。
黎曼曲率等于1、-1和0的空间分别是黎曼球空间、罗巴切夫斯基空间和欧氏空间。欧氏空间可看作黎曼空间的特例。
黎曼统一了黎氏几何，罗氏几何，欧氏几何，并且预见，物质的存在可能造成空间的弯曲。为爱因斯坦的广义相对论准备了数学基础。
牛顿说，所有相对于绝对空间作匀速直线运动的参考系是惯性系。爱因斯坦的相对论里没有绝对空间，
于是相对论里无法沿用牛顿的惯性系概念。
牛顿为了解释地球绕太阳的非惯性曲线运动，引入了万有引力的概念，
说太阳引力拉着地球充当向心力。
问题是，物体之间为什么会有引力，一直找不到原因。
爱因斯坦注意到惯性力与物体的惯性质量成正比，这个特点与万有引力非常相似，提示爱因斯坦把惯性系定义问题
和引力问题一起解决，他推测引力与与惯性力有相同的本质。万有引力不是真正的力，而是时空弯曲的表现。
广义相对论（General Relativity），是爱因斯坦于1915年以几何语言建立而成的引力理论，统合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律，将引力改描述成因时空中的物质与能量而弯曲的时空，以取代传统对于引力是一种力的看法。
广义相对论解释：地球并不受引力牵引，而是保持惯性运动，由于太阳的质量使空间弯曲，
地球的弯曲轨道根本就是惯性运动轨道，是弯曲时空中的短程线（相当于平直时空的直线）。
弯曲的空间没有直线，只有最短线，平直的空间里，直线即最短线。
广义相对论的场方程，实际上，这是由10个二阶偏微分方程组成的方程组，目前只有一些特殊条件下的解
每一个爱因斯坦场方程的解都是一个宇宙，这里的宇宙含义既包括了整个空间，也包括了过去与未来——它们并不单单是反映某些事物的“快照”，而是所描述的时空的完全写真。
广义相对论导出宇宙之初为‘奇点’，而奇点的性质是曲率无限大，质量无限大，密度无限大，同样温度也无限大。
奇点是广义相对论的一个结果，并且任何有质量的实体发生引力坍缩并达到一个特定阶段后都会形成奇点，而在一系列膨胀宇宙模型中也一样存在奇点。不过奇点的性质并不清楚。
爱因斯坦最得意的还是广义相对论。他说，如果我没有发现狭义相对论，5年之内必有人发现它。
如果我没有发现广义相对论，50年之内必无人发现它。
将近一百年过去了，广义相对论依然是一个高度活跃的研究领域。
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