Riemannian geometry（黎曼幾何）
微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注於角度、弧線長度及體積。把每個微小部分加起來而得出整體的數量。
19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推廣。
任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓撲問題。它成爲僞黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究對象。
黎曼幾何與以下主題有關：
度量張量
黎曼流形
列維-奇維塔聯絡
曲率
曲率張量
黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作爲基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。
黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當「改進」的球面。
歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三種幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確的。
在我們這個不大不小、不遠不近的空間裏，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。
人們終於認識到存在一種不同於歐氏幾何的新幾何，稱其爲非歐幾何。不久之後，德國的黎曼採用另一條新公理取代第五公設，創建了另一種非歐幾何。黎曼的新公理認爲，「過直線外的一點，一條平行線也得不出來」。數學界很快認識到這三種幾何都是正確的，它們反映不同曲率空間的性質。人們把羅巴切夫斯基和鮑耶創建的幾何稱爲羅氏幾何，把黎曼創建的幾何稱爲黎氏幾何。歐氏幾何是平直空間中的幾何，黎氏幾何是正曲率空間中的幾何，羅氏幾何則是負曲率空間中的幾何。
1845年，黎曼在哥廷根大學發表了題爲《論作爲幾何基礎的假設》的就職演講，標誌着黎曼幾何的誕生。黎曼把這三種幾何統一起來，統稱爲黎曼幾何，並用這一工作，在哥廷根大學的數學系作報告，謀求一個講師的位置。
後經E．B．Christoffel，L．Bianohi及C．G．Ricci等人進一步完善和拓廣，成爲A．Einstein創立廣義相對論(1915年)的有力數學工具。此後黎曼幾何得到了蓬勃發展，特別是E．Cartan，他建立的外微分形式和活動標架法，溝通了Lie群與黎曼幾何的聯繫，爲黎曼幾何的深入發展開闢了廣闊的前景，影響極爲深遠。近半個世紀來，黎曼幾何的研究從局部發展到整體，產生了許多深刻的並在其他數學分支(如代數拓撲學，偏微分方程，多復交函數論等)及現代物理學中有重要作用的結果。
黎曼的研究是以高斯關於曲面的內蘊微分幾何爲基礎的，在黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間，對於三維空間，有以下三種情形：
◆ 曲率恒等於零；
◆ 曲率爲負常數；
◆ 曲率爲正常數．
黎曼指出：前兩種情形分別對應於歐幾里得幾何學和羅巴切夫斯基幾何學，而第三種情形則是黎曼本人的創造，它對應於另一種非歐幾何學。黎曼的這第三種幾何就是用命題「過直線外一點所作任何直線都與該直線相交」代替第五公設作爲前提，保留歐氏幾何學的其他公理與公設，經過嚴密邏輯推理而建立起來的幾何體系。這種幾何否認「平行線」的存在，是另一種全新的非歐幾何，這就是如今狹義意義下的黎曼幾何，它是曲率爲正常數的幾何，也就是普通球面上的幾何，又叫球面幾何。該文於黎曼去世兩年後的1868年發表。
近代黎曼幾何在廣義相對論裏得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論裏，愛因斯坦放棄了關於時空均勻性的觀念，他認爲時空只是在充分小的空間裏以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。
此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎。也應用在微分方程、變分法和複變函數論等方面。
複分析（英語：Complex analysis）是研究復變的函數，特別是亞純函數和復變解析函數的數學理論。
研究中常用的理論、公式以及方法包括柯西積分定理、柯西積分公式、留數定理、洛朗級數展開等。復變分析的應用領域較爲廣泛，在其它數學分支和物理學中也起着重要的作用。包括數論、應用數學、流體力學、熱力學和電動力學。
複變函數，是自變量和應變量皆爲複數的函數。更確切的說，複變函數的值域與定義域都是複平面的子集。在復變分析中，自變量又稱爲函數的「宗量」。
複分析中的柯西-黎曼微分方程（英語：Cauchy–Riemann equations），又稱柯西-黎曼條件。是提供了可微函數在開集中爲全純函數的充要條件的兩個偏微分方程，以柯西和黎曼得名。這個方程組最初出現在達朗貝爾的著作中。後來歐拉將此方程組和解析函數聯繫起來。 然後柯西採用這些方程來構建他的函數理論。黎曼關於此函數理論的論文於1851年問世。
群在抽象代數中具有基本的重要地位：許多代數結構，包括環、域和向量空間等可以看作是在群的基礎上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數學的許多分支都有出現，而且群論的研究方法也對抽象代數的其它分支有重要影響。線性代數群（linear algebraic groups）和李群作爲群論的分支，在經歷了重大的發展之後，已經形成相對獨立的研究領域。
群論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因爲許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法來進行建模。於是群論和相關的群表示論在物理學和化學中有大量的應用。
群論中的重要結果，有限單群分類是20世紀數學最重要的結果之一。該定理的證明是集體努力的結果，它的證明出現在1960年和1980年之間出版的超過10,000頁的期刊上。
群論在歷史上主要有三個來源：數論，代數方程理論和幾何學。數論中出現的對群的研究始於萊昂哈德·歐拉，之後由卡爾·弗里德里希·高斯在對模算術和與二次域相關的乘法和加法的研究中進行了發展。群論的概念在代數數論中首先被隱含地使用，後來才顯式地運用它們。
關於置換群的早期結果出現在約瑟夫·拉格朗日、保羅·魯菲尼和尼爾斯·阿貝爾等人關於高次方程一般解的工作中。1830年，埃瓦里斯特·伽羅瓦第一個用群的觀點來確定多項式方程的可解性。伽羅瓦首次使用了術語「群」，並在新生的群的理論與域論之間建立起了聯繫。這套理論現在被稱爲伽羅瓦理論。阿瑟·凱萊和奧古斯丁·路易·柯西進一步發展了這些研究，創立了置換群理論。
群論的第三個主要歷史淵源來自幾何。群論在射影幾何中首次顯示出它的重要性，並在之後的非歐幾何中起到了作用。菲利克斯·克萊因用群論的觀點，在不同的幾何學（如歐幾里德幾何、雙曲幾何、射影幾何）之間建立了聯繫，即愛爾蘭根綱領。1884年，索菲斯·李開始研究分析學問題中出現的群（現在稱爲李群）。
屬於不同領域的來源導致了群的不同記法。群的理論從約1880年起開始統一。在那之後，群論的影響一直在擴大，在20世紀早期促進了抽象代數、表示論和其他許多有影響力的子領域的建立。有限單群分類是20世紀中葉一項規模龐大的工作，對一切的有限單群進行了分類。
群論考慮的群的類型從有限置換群和一些特殊的矩陣群逐漸進展到抽象群。這些抽象群可以由生成元和關係給定。
群論在數學上被廣泛地運用，通常以自同構群的形式體現某些結構的內部對稱性。結構的內部對稱性常常和一種不變式性質同時存在。如果在一類操作中存在不變式，那這些操作轉換的組合和不變式統稱爲一個對稱群。
阿貝爾群概括了另外幾種抽象集合研究的結構，例如環、域、模。
在代數拓撲中，群用於描述拓撲空間轉換中不變的性質，例如基本群和透射群。
李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其結合了群論和分析學，李群能很好的描述分析數學結構中的對稱性。對這類群的分析又叫調和分析。
在組合數學中，交換群和群作用常用來簡化在某些集合內的元素的計算。
後來群論廣泛應用於各個科學領域。凡是有對稱性出現的地方，就會有它的影子，例如物理學的超弦理論。
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