如果沒有微分幾何中的 Riemannian geometry（黎曼幾何）會發生什麼？
如果沒有微分幾何中的 Riemannian geometry（黎曼幾何），近代物理學大廈將轟然倒塌，量子力學還要在黑暗中艱難摸索，······
Georg Friedrich Bernhard Riemann（格奧爾格·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼1826年9月17日—1866年7月20日）德國數學家，黎曼幾何創始人，複分析創始人之一。在實分析領域，他最著名的貢獻是第一個嚴格的積分公式：黎曼積分以及他關於傅立葉級數的工作。他在1859年發表的關於素數計數函數的著名論文包含了黎曼猜想的原始陳述，其被認爲是解析數論中最具影響力的論文之一。通過對微分幾何的開拓性貢獻，黎曼奠定了廣義相對論數學的基礎他出生於漢諾威王國（今德國下薩克森）的小鎮佈雷瑟倫茨。他的父親弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼是當地的路德會牧師，曾參加拿破崙戰爭。他在六個孩子中排行第二。黎曼從小就表現出非凡的數學技能，例如計算能力，但害怕在公共場合演講。
1840年，黎曼搬到漢諾威和祖母生活並進入中學學習。1842年祖母去世後，他搬到呂訥堡的約翰內烏姆學校（Johanneum）。1846年，按照父親的意願，黎曼進入哥廷根大學神學院學習哲學和神學。在此期間他去聽了一些數學講座，包括高斯關於最小二乘法的講座。在得到父親的允許後，他改學數學。
1847年春，黎曼轉到柏林大學，投入雅可比、狄利克雷和雅各布·施泰納門下。兩年後他回到哥廷根大學任教。
1851年黎曼獲博士學位。
1854年他做了第一次演講，《論作爲幾何基礎的假設》，正式開創了黎曼幾何，併爲後續愛因斯坦提出的廣義相對論提供了數學基礎。他在1857年升爲哥廷根大學的編外教授，並在1859年狄利克雷去世後作爲狄利克雷的繼承人任正教授。他也是第一個建議用高於三維或四維描述物理現實的人。
1862年他與埃莉澤·科赫（Elise Koch）結婚，由於患肺病，開始了療養生活。
1866年，漢諾威王國和普魯士王國的軍隊在哥廷根發生衝突，黎曼逃離了那裏。他在第三次去意大利王國的途中因肺結核在塞拉斯卡（Selasca）去世，他被埋葬在此地的公墓。
微分幾何中的 Riemannian geometry（黎曼幾何）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注於角度、弧線長度及體積。把每個微小部分加起來而得出整體的數量。
19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推廣。
任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓撲問題。它成爲僞黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究對象。
先從直線說起。
直線/線段這個概念，源於我們的經驗，經驗告訴我們，直線是兩點之間得最短線。
數學課上，學生舉手問老師：爲什麼兩點之間直線距離最短？
老師大怒：你扔一塊骨頭在地上，狗就沿直線跑過來。狗都明白的道理，你還不明白！
現代數學家和物理學家們絞盡腦汁想解決這個狗都知道的問題。
這個結論有三個很靠不住的假設
1。最短。長短，怎麼衡量？經驗告訴我們用尺子量，但在曲面上沒法用尺子。
2。線的長短是一個幾何問題嗎？
以洛侖茲變換和狹義相對論來看，線的長短是相對的，和速度有關，不是單純的幾何問題。
3。線的彎直是一個幾何問題嗎？
按照人類經驗，光線走兩點之間最短路線，兩點之間最短路線是直線，所以光線就是直線。
但是，實驗證明，光線在引力場會彎曲，所以，直線的概念並不純粹是幾何問題，還和物質的性質有關。
所以對看上去天經地義的經驗追根究底，可能會發現經驗未必牢靠。
黎曼幾何的核心是張量。
從代數角度講， 它是向量的推廣。 向量可以看成一維的「表格」（即分量按照順序排成一排）， 矩陣是二維的「表格」（分量按照縱橫位置排列）， 那麼n階張量就是所謂的n維的「表格」。 張量的嚴格定義是利用線性映射來描述的。與矢量相類似，定義由若干座標系改變時滿足一定座標轉化關係的有序數組成的集合爲張量。
從幾何角度講， 它是一個真正的幾何量，也就是說，它是一個不隨參照系的座標變換而變化的東西。向量也具有這種特性。
標量可以看作是0階張量，矢量可以看作1階張量。張量中有許多特殊的形式， 比如對稱張量、反對稱張量等等。
有時候，人們直接在一個座標系下，由若干個數（稱爲分量）來表示張量，而在不同座標系下的分量之間應滿足一定的變換規則（參見協變規律，反變規律），如矩陣、多變量線性形式等都滿足這些規律。一些物理量如彈性體的應力、應變以及運動物體的能量動量等都需用張量來表示。在微分幾何的發展中，高斯、黎曼等人在19世紀就導入了張量的概念，愛因斯坦在廣義相對論中廣泛地利用了張量。
黎曼幾何作爲非歐幾何的一種, 它與羅巴切夫斯基幾何相比, 有着實質性的不同。羅氏幾何主要工作是建立了一整套區別於歐幾里得的《幾何原本》的邏輯體系; 而黎曼幾何的核心問題是以微分幾何爲基礎, 建立曲線座標系中的微分方法。羅氏幾何是第一個被提出的非歐幾何學, 它的基本觀點是: 第一, 第五公設不能被證明; 第二, 可以在新的公理體系中展開的一連串推理, 得到一系列在邏輯上無矛盾的新的定理, 形成新的理論。羅氏幾何學的公理系統區別於歐式幾何學之處, 僅僅是把歐式幾何平行公理改爲: 從直線外一點, 至少可以做兩條直線和這條直線平行。黎曼幾何與羅氏幾何的平行公理相反: 過直線外一點, 不能做直線和已知直線平行。也就是說, 黎曼幾何規定: 在同一平面內任何兩條直線都有公共點, 黎曼幾何學不承認存在平行線。很自然就有另一條公設: 直線可以無限延長, 但長度是有限的, 這可以類比爲一個球面。黎曼幾何是通過微分幾何的途徑建立起來的,因此與羅氏幾何根本不同。黎曼幾何學的公理體系引進了一種彎曲的幾何空間(它可以通過拉梅引進的曲線座標系描述) , 黎曼在構想這種幾何學的時候, 就想設法建立起相應的代數結構。這個目標黎曼本人沒有實現, 但沿着他開闢的道路, 克里斯托夫和裏奇完成了新幾何學的構建。換句話說, 張量分析構成了黎曼幾何學的核心內容。這表現在若干方面: 1. 黎曼空間中的曲率是一個張量, 其有關運算需採用絕對微分法; 2. 黎曼空間的度量以度量張量表達; 3. 黎曼空間的平行定義爲標積保持不變(即平行被定義爲與曲線的夾角保持不變), 依賴克里斯托夫符號; 4. 黎曼空間的直線(短程線)方程的建立依賴協變微分。正因爲有了張量分析這個工具, 黎曼幾何才獲得了類似於微積分一樣的計算功能, 從而擺脫了停留在邏輯構造層面上的束縛, 從根本上與微分幾何實現了傳承, 並實現了微分幾何從直線座標系到曲線座標系的進步, 使得幾何學與代數學更緊密地聯繫起來。
要而言之, 張量分析的產生一方面是向量分析的推廣, 另一方面是微分幾何的發展推動。張量分析與黎曼幾何在相互交織中發展, 互相促進。
黎曼曲率等於1、-1和0的空間分別是黎曼球空間、羅巴切夫斯基空間和歐氏空間。歐氏空間可看作黎曼空間的特例。
黎曼統一了黎氏幾何，羅氏幾何，歐氏幾何，並且預見，物質的存在可能造成空間的彎曲。爲愛因斯坦的廣義相對論準備了數學基礎。
牛頓說，所有相對於絕對空間作勻速直線運動的參考系是慣性系。愛因斯坦的相對論裏沒有絕對空間，
於是相對論裏無法沿用牛頓的慣性系概念。
牛頓爲了解釋地球繞太陽的非慣性曲線運動，引入了萬有引力的概念，
說太陽引力拉着地球充當向心力。
問題是，物體之間爲什麼會有引力，一直找不到原因。
愛因斯坦注意到慣性力與物體的慣性質量成正比，這個特點與萬有引力非常相似，提示愛因斯坦把慣性系定義問題
和引力問題一起解決，他推測引力與與慣性力有相同的本質。萬有引力不是真正的力，而是時空彎曲的表現。
廣義相對論（General Relativity），是愛因斯坦於1915年以幾何語言建立而成的引力理論，統合了狹義相對論和牛頓的萬有引力定律，將引力改描述成因時空中的物質與能量而彎曲的時空，以取代傳統對於引力是一種力的看法。
廣義相對論解釋：地球並不受引力牽引，而是保持慣性運動，由於太陽的質量使空間彎曲，
地球的彎曲軌道根本就是慣性運動軌道，是彎曲時空中的短程線（相當於平直時空的直線）。
彎曲的空間沒有直線，只有最短線，平直的空間裏，直線即最短線。
廣義相對論的場方程，實際上，這是由10個二階偏微分方程組成的方程組，目前只有一些特殊條件下的解
每一個愛因斯坦場方程的解都是一個宇宙，這裏的宇宙含義既包括了整個空間，也包括了過去與未來——它們並不單單是反映某些事物的「快照」，而是所描述的時空的完全寫真。
廣義相對論導出宇宙之初爲『奇點』，而奇點的性質是曲率無限大，質量無限大，密度無限大，同樣溫度也無限大。
奇點是廣義相對論的一個結果，並且任何有質量的實體發生引力坍縮並達到一個特定階段後都會形成奇點，而在一系列膨脹宇宙模型中也一樣存在奇點。不過奇點的性質並不清楚。
愛因斯坦最得意的還是廣義相對論。他說，如果我沒有發現狹義相對論，5年之內必有人發現它。
如果我沒有發現廣義相對論，50年之內必無人發現它。
將近一百年過去了，廣義相對論依然是一個高度活躍的研究領域。
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